Soal Olimpiade Sains Nasional Matematika tingkat SMP

1. ABCD adalah persegi panjang. Dari titik C ditarik garis lurus yang memotong sisi AB dititik X. Garis CX memotong perpanjangan sisi AD dititik Y. Jika panjang BX adalah b cm, panjang DY adalah d cm, dan luas persegi panjang ABCD adalah L $cm^{2}$, maka pernyataan yang benar adalah . . .
   1. $b\times d=L$
   2. $b\times d=2L$
   3. $L< b\times d< 2L$
   4. $b\times d< L $


2. Diketahui suatu barisan aritmatika $a_{1}, a_{2}, a_{3}, . . . $ dengan semua sukunya bilangan bulat, $a_{1}$ habis dibagi 3, $a_{2}$ habis dibagi 5, dan $a_{3}$ habis dibagi 7. Jika $a_{1}+a_{2}+a_{3}=405$ dan $a_{1}>105$, maka nilai $k$ terkecil sedemikian sehingga $a_{k}>1000$ adalah . . .
   1. 74
   2. 75
   3. 76
   4. 77


3. Pada sebuah ujian yang dilaksanakan secara lisan oleh seorang guru digunakan aturan sebagai berikut :
   
   • Sebanyak 30 pertanyaan berbeda dimasukan secara berpasangan pada 15 kartu.
   • Seorang siswa mengambil satu kartu secara acak. Jika dia menjawab dengan benar kedua pertanyaan pada kartu yang ditarik, dia dinyatakan lulus.
   • Jika dia menjawab dengan benar hanya satu pertanyaan pada kartu yang ditarik, dia mengambil kartu lain dan guru menentukan yang mana dari dua pertanyaan pada kartu kedua yang harus dijawab. Jika siswa menjawab dengan benar pertanyaan yang ditentukan, siswa tersebut dinyatakan lulus. Pada keadaan lainnya siswa dinyatakan gagal.
   
   Jika seorang siswa mengetahui jawaban dari 35 pertanyaan dan tidak tahu jawaban yang benar untuk 5 pertanyaan lainnya, peluang siswa tersebut lulus ujian adalah . . .
   1. $\frac{105}{203}$
   2. $\frac{185}{203}$
   3. $\frac{175}{203}$
   4. $\frac{165}{203}$


4. SMP Nusantara mengadakan kegiatan menanam pohon yang diikuti oleh sejumlah guru pria dan guru wanita. Sepertiga dari keseluruhan guru tersebut mengajak serta siswa dengan aturan satu guru hanya mengajak satu siswa. Terdapat 159 pohon yang ditanam. Jika satu orang guru pria menanam 14 pohon, satu orang guru wanita menanam 10 pohon, dan 1 orang siswa menanam 6 pohon, maka banyaknya guru wanita yang menanam pohon adalah . . .
   1. 5
   2. 7
   3. 9
   4. 12


5. Perhatikan setengah lingkaran pusat $O$ dan diameter $AB$ berikut :
   Titik $C$ terletak pada busur $AB$ dan $P$ adalah pusat lingkaran dalam $ABC$. Titik $P$ dilalui $DE$ yang tegak lurus $AO$, jika $DE=4$ cm maka luas daerah $OBC$ adalah $. . . .cm^{2}$
   1. 2
   2. 4
   3. 8
   4. 16